Física 2º BAC Tema 1: Interacción gravitatoria

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Enlace: Apuntes del IES Aguilar y Cano

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tema Interacción gravitatoria

Ley de Gravitación Universal

Dos partículas materiales se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Las fuerzas gravitatorias tienen las características siguientes:

  • La dirección del vector fuerza es la de recta que une las dos masas. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.
  • Son fuerzas a distancia. No es preciso que existan ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen.
  • Siempre se presentan a pares. Si la partícula 1 atrae a la partícula 2 con una fuerza F12, la partícula 2, a su vez, atrae a la partícula 1 con una fuerza F21 . Ambas fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos contrarios. Son fuerzas de acción y reacción. F12=-F21 (Usamos negrita para indicar que son vectores)
  • La constante de proporcionalidad G que aparece en la ley se llama constante de gravitación universal y su valor es constante en todo el universo. Su valor es tan pequeño que, a menos que una de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable.
  • Las fuerzas gravitatorias son centrales y conservativas. La fuerza gravitatoria es una fuerza central porque está dirigida constantemente hacia el mismo punto, centro del campo, independientemente de la posición de la masa m, y su módulo depende sólo de la distancia r de la masa m a la masa M que crea el campo. La fuerza gravitatoria es conservativa porque el trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa m de un punto a otro depende sólo de las posiciones inicial y final de dicha masa.
  • Las fuerzas gravitatorias cumplen el principio de superposición, si varias masas ejercen fuerzas gravitatorias sobre otra, la fuerza total será la suma vectorial de todas ellas.

Campo gravitatorio

Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masa. El campo gravitatorio viene determinado por dos magnitudes: una vectorial, la intensidad del campo gravitatorio, y otra escalar, el potencial gravitatorio.

  • La intensidad del campo gravitatorio en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto. Se mide en N/Kg.
  • El potencial gravitatorio en un punto del espacio es el trabajo que se realiza cuando la unidad de masa se traslada desde dicho punto hasta el infinito. Se mide en J/Kg.A medida que nos alejamos de la masa generadora de campo el potencial gravitatorio, cuyo valor depende de la masa que crea el campo, aumenta. En el infinito el potencial es cero.

    Variación del potencial gravitatorio con la distancia

     Al ser el campo gravitatorio un campo conservativo, el trabajo que realizan las fuerzas del campo gravitatorio al acercar una masa m a otra masa fija, es independiente del camino seguido por la masa m y puede expresarse como la variación de su energía potencial gravitatoria entre los puntos inicial y final.

    La energía potencial gravitatoria de una masa m en un punto del espacio es el trabajo que se realiza  cuando la masa m se traslada desde dicho punto hasta el infinito.

    El trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa m de un punto A a un punto B es:W>0 la masa m se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio. Esto sucede cuando se acercan dos masas.

    W<0 la masa m se desplaza por acción de fuerzas exteriores al campo gravitatorio. Esto sucede cuando se separan dos masas.

Representación del campo gravitatorio

  • Líneas de campo:

Son las trayectorias que seguiría la unidad de masa en libertad dentro del campo gravitatorio.

Líneas del campo gravitatorio terrestre

  1. En cada punto la dirección del vector campo es tangente a las líneas de campo y tiene el mismo sentido que éstas.
  2. La densidad de líneas de campo es proporcional al módulo del campo gravitatorio.
  3. Las líneas de fuerza nunca se cortan porque la fuerza en cualquier punto sólo puede tener una dirección.
  • Superficies equipotenciales
  1. Se obtienen unir los puntos en los que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor.
  2. Son perpendiculares a las líneas de campo en cualquier punto.
  3. Para una masa puntual son esferas concéntricas con centro en la propia masa
  4. El trabajo para trasladar una masa de un punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.

Líneas de campo y superficies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre

MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES

Imagen de Fisicalab

r=RT+h

r: radio de la órbita

RT: radio de la Tierra

h: altura medida desde la superficie del planeta

Velocidad orbital

Es la velocidad que lleva el satélite en su órbita.

La fuerza gravitatoria que mantiene a un satélite en órbita circular es un ejemplo de fuerza centrípeta.

Periodo de revolución: es el tiempo que tarda un satélite en describir una órbita completa.

Satélite geoestacionario: es el que se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre por lo que su periodo coincide con el de la Tierra, es decir, 24 horas. Esta órbita está en el plano ecuatorial.

Órbita polar es una órbita que pasa por encima de los polos de un planeta o muy cerca de ellos, es decir la inclinación de la órbita es cercana a los 90 grados. Un satélite en órbita polar pasa sobre cada punto del planeta cuando éste gira sobre su eje.

Velocidad de escape

Es la velocidad mínima con que debe ser lanzado un cuerpo desde una altura h para escapar de la atracción gravitatoria ejercida por el planeta en cuyas proximidades se encuentre. Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatorio del planeta cuando llega a una distancia infinita del planeta (Ep=0) con velocidad nula (Ec=0). Entonces, su energía mecánica debe ser nula y por el teorema de conservación de la energía mecánica se obtiene la velocidad de escape.

La velocidad de escape sólo depende de las características del planeta (masa, radio) y no de la masa del satélite.

Energía para poner un satélite en órbita

Ejercicio resuelto

Cambio de órbita de un satélite

Ejercicio resuelto

Leyes de Kepler

  • Primera ley de kepler: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.

  • Segunda ley de Kepler: La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

  • Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.

Validez de la expresión Ep= m · g · h en puntos próximos a la superficie terrestre

La variación de la energía potencial al trasladar un objeto de masa m desde la superficie de la Tierra hasta un punto situado a una altura h, con h<<RTierra es:

Intensidad del campo gravitatorio en puntos próximos a la superficie terrestre

La teoría del caos determinista (estándar 17)

En los problemas en los que interactúan dos cuerpos, un satélite alrededor de un planeta o un planeta alrededor del Sol, la mecánica clásica permite determinar la posición, en función del cuerpo, de los dos astros.

Cuando se quiere estudiar el movimiento de un cuerpo atraído por dos masas mucho mayores, lo que se conoce como el problema de los tres cuerpos, no existe una solución analítica que describa, para un tiempo infinito, el movimiento de los tres cuerpos en interacción gravitatoria mutua. El sistema es impredecible dado que una pequeña perturbación en el estado inicial puede llevar al sistema a un estado completamente diferente.

“El batir de las alas de una mariposa puede provocar un huracán en otra parte del mundo”…

La Teoría del Caos se encarga de estudiar  sistemas que son muy sensibles a las condiciones iniciales.

Otros sistemas caóticos son:

  • La bolsa de valores
  • La forma en que crecen los cristales de hielo
  • El movimiento de fluidos
  • Un péndulo doble
  • Un péndulo magnético
  • Poblaciones de bichos, humanos, bacterias, etc.
  • La evolución
  • El movimiento de las placas tectónicas
  • El tráfico en las ciudades

Hipótesis de la existencia de materia oscura a partir de los datos de rotación de galaxias y la masa del agujero negro central (estándar 15)

Rotación de una galaxia espiral. La materia oscura.

¿Cómo giran las estrellas de una galaxia? La respuesta es muy fácil: usando las leyes de Newton, exactamente igual que las usamos para estudiar el movimiento de los planetas alrededor del Sol, deducimos que deben girar en órbitas circulares o elípticas alrededor del centro de masas (el centro galáctico). Las estrellas más lejanas irán más despacio (tardarán mucho tiempo en dar una vuelta completa a la galaxia); las más cercanas, más rápido. 

La rotación de las galaxias se observó por primera vez en 1914, y desde entonces se ha medido con gran precisión en muchas galaxias, no sólo en la Vía Láctea. La gran sorpresa surgió cuando, en 1975, se pudo medir la velocidad de giro de las estrellas que ocupan posiciones muy alejadas del centro: esas estrellas van muchísimo más rápido que lo que les correspondería por las leyes de Newton (es como si los planetas más alejados, por ejemplo Neptuno y Plutón, orbitaran mucho más deprisa de lo que calculamos con las leyes de Newton). El hecho es que esto ocurre no en una, sino en muchas galaxias donde hemos podido medir su rotación: las partes externas de las galaxias giran mucho más deprisa que lo que esperamos. ¿Por qué ocurre eso? No se sabe.

Desde hace treinta años, los astrofísicos se enfrentan a este dilema: o bien las galaxias tienen mucha materia que no vemos, pero que causa una fuerte atracción gravitatoria sobre las estrellas externas (que por ello orbitarían tan rápido) o bien ni la ley de la gravedad de Newton ni la de Einstein serían válidas para esas regiones externas de las galaxias. Las dos opciones son revolucionarias para la física: la primera implica la existencia de materia oscura en el universo (materia que no vemos pero que sí afecta al movimiento de las estrellas y galaxias), y la segunda implica que una ley básica (la de Newton/Einstein de la gravitación) es incorrecta. En el momento actual, no sabemos cuál de esas dos opciones es la buena. La gran mayoría de los astrofísicos prefieren explicarlo con la materia oscura antes que dudar de las leyes de la gravitación de Newton/Einstein. Esto no es sólo cuestión de gustos, es que las leyes de la gravitación funcionan con una increíble exactitud en todos los demás casos donde las hemos puesto a prueba (en los laboratorios, en las naves espaciales y los vuelos interplanetarios, en la dinámica del Sistema Solar, etc.).

Este problema de la materia oscura (si es que realmente existe y no es que las leyes de Newton sean incompletas) es uno de los más importantes con los que se enfrenta la astrofísica hoy en día.

Tipos de satélites en función del radio de la órbita

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Contenidos

  • 1. Definición del campo gravitatorio a partir de las magnitudes que lo caracterizan: Intensidad y potencial gravitatorio.
  • 2. Descripción del campo gravitatorio a partir de las magnitudes inherentes a la interacción del campo con una partícula: Fuerza y energía potencial gravitatoria.
  • 3. Valoración del carácter conservativo del campo por su relación con una fuerza central como la fuerza gravitatoria.
  • 4. Relación del campo gravitatorio con la aceleración de la gravedad (g).
  • 5. Cálculo de la intensidad de campo, el potencial y la energía potencial de una distribución de masas.
  • 6. Representación gráfica del campo gravitatorio mediante líneas de fuerzas y mediante superficies equipotenciales.
  • 7. Aplicación de la conservación de la energía mecánica al movimiento orbital de los cuerpos como planetas, satélites y cohetes.
  • 8. Interpretación cualitativa del caos determinista en el contexto de la interacción gravitatoria

Estándares de aprendizaje específicos del tema:

En azul los de la matriz de especificaciones de la EBAU.

  1. Diferencia entre los conceptos de fuerza y campo, estableciendo una relación entre intensidad del campo gravitatorio y la aceleración de la gravedad. Aclaración: Saber formular la Ley de Gravitación (en forma vectorial) saber calcular la fuerza y campo gravitatorio para una distribución de tres masas como máximo. 
  2. Representa el campo gravitatorio mediante las líneas de campo y las superficies de energía equipotencial. Aclaración: Saber definir línea de campo y superficie equipotencial y saber representarlas para una masa puntual. 
  3. Explica el carácter conservativo del campo gravitatorio y determina el trabajo realizado por el campo a partir de las variaciones de energía potencial.
  4. Calcula la velocidad de escape de un cuerpo aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.
  5. Aplica la ley de conservación de la energía al movimiento orbital de diferentes cuerpos como satélites, planetas y galaxias.
  6. Deduce a partir de la ley fundamental de la dinámica la velocidad orbital de un cuerpo, y la relaciona con el radio de la órbita y la masa del cuerpo.
  7. Identifica la hipótesis de la existencia de materia oscura a partir de los datos de rotación de galaxias y la masa del agujero negro central.
  8. Utiliza aplicaciones virtuales interactivas para el estudio de satélites de órbita media (MEO), órbita baja (LEO) y de órbita geoestacionaria (GEO) extrayendo conclusiones.
  9. Describe la dificultad de resolver el movimiento de tres cuerpos sometidos a la interacción gravitatoria mutua utilizando el concepto de caos.
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