Un relato matemático

Resumen
A partir del Criterio 4 del nivel de 3ºESO del Currículo del Área de Matemáticas diseñaremos una Situación de Aprendizaje (SA). Explicaremos la secuencia de implementación en el aula y evaluaremos los productos utilizando su rúbrica. Para la corrección de la prueba escrita usaremos la dinámica de Grupos de Expertos.
Introducción
A partir del curso 2011-2012 la Consejería de Educación del Gobierno de Canarias ha apostado firmemente por un cambio global de la educación en Canarias. El Proyecto ProIDEAC(Pro Integrar: Diseño + Evaluación >> Aprendizaje Competencial) que promueve la Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa de la Consejería de Educación, Universidades y Sostenibilidad del Gobierno de Canarias tiene como objetivo fundamental formar al profesorado en el enfoque competencial de la enseñanza y el aprendizaje así como en la evaluación colegiada de las competencias básicas, mediante el diseño de situaciones de aprendizaje, profundizando, a su vez, en el trabajo cooperativo y de equipo entre los docentes (autogestión organizativa y pedagógica) desde el concepto de comunidad de aprendizaje.
La plataforma ProIDEAC intenta transformar las prácticas docentes en el aula haciendo hincapié en los aprendizajes y en el desarrollo de las competencias básicas. El conjunto de docentes de la Comunidad de Canarias participamos en los planes de formación de los centros desarrollando el conocido Módulo 0. En este curso hemos diseñado y evaluado SA usando la plataforma ProIDEAC.
Por lo tanto la SA que he diseñado hace hincapié en el enfoque competencial del aprendizaje, preparando a los alumnos como ciudadanos activos y responsables en un mundo globalizado donde las nuevas tecnologías juegan un papel fundamental. Lo importante es que el alumno razone y use las matemáticas como herramienta imprescindible para tomar la decisión óptima en distintas situaciones de la vida real.
Desarrollo
El desarrollo del criterio 4 de 3ºESO del currículo de matemáticas de la CCAA de Canarias es el criterio que inspira la SA.
El criterio 4 dice lo siguiente: Resolver problemas de la vida cotidiana en los que

e precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Por tanto atendiendo a que el alumnado debe resolver problemas de la vida cotidiana utilizando las matemáticas como herramienta, concretamente herramientas algebraicas planteamos la siguiente secuencia de problemas. Como haremos énfasis en el razonamiento para resolver problemas, utilizaremos sólo números sencillos que centren al alumnado en esta tarea. Todos los problemas están enlazados a través de un pequeño relato, donde dos amigos que estudian en el IES Cabo Blanco van de compras e irán resolviendo los distintos problemas que les van surgiendo o haremos referencia al propio centro educativo. Tratamos de dar contextos reales y cercanos para motivar
Para resolverlo planteamos las siguientes ecuaciones de primer grado:
Juan gasta: 46,20€= 3,20€ + 7€ + 12.x, siendo
x = Nº de pantalones que compró.
Miguel gasta: 27,20€= 3,20€ + 6.x, siendo x = Nº de camisetas que compró.
la comprensión de los enunciados. El alumnado elaborará un informe con la solución de los distintos problemas. Veamos la primera propuesta:
Juan y Miguel son dos amigos que viven en Cabo Blanco. Un día deciden ir a Santa Cruz de compras. El billete de la guagua les cuesta 3,20€ a cada uno. Juan compra pantalones y Miguel camisetas. Además Juan invita a Miguel a un bocadillo y una coca cola, costando todo 7€. Si Juan gastó en total 46,20 € y Miguel 27,20 €. ¿Cuántos pantalones compró Juan y cuántas camisetas compró Miguel? Problema 1.

El alumnado ya sabe resolver ecuaciones de primer grado ya que es un criterio de evaluación que se desarrolla en 2ºESO. No obstante, dedicaremos dos sesiones a recodarlo.
Ya en Santa Cruz al pasar por una
a) Mudanzas “El Rayo”: P = 600€ + 3.x, siendo x= Nº Km. recorridos.
Mudanzas “Para hoy”: P= 240€ + 9.x, siendo x= Nº Km. recorridos.
Para saber en qué caso las dos empresas cobrarán la misma cantidad igualaremos las dos tarifas: 600€ + 3.x = 240€ + 9.x tendremos que resolver esta ecuación de primer grado.
b) Calcularemos el precio que cobra cada compañía de transporte para la distancia de 77 Km. Mudanzas “El Rayo”: P = 600€ + 3. 77= 600 + 231 = 831€
Mudanzas “Para hoy”: P= 240€ + 9. 77= 240 + 693 = 933€
La más económica será la empresa de Mudanzas “El Rayo”.
frutería se fijaron que el precio de la piña tropical era de 3,50€ el kilo. Una señora al comprar piña tropical, pagó con un billete de 10 € y le devolvieron 3€. ¿Cuántos Kg compró? Problema 2.
Para resolverlo planteamos la siguiente ecuación de primer grado:
10€ = 3€ + 3,50.x, siendo x= Nº Kg de piña que compró la señora.
Por tanto la señora compró 2 Kg. de piña tropical

Además Miguel piensa en cambiar de domicilio de Cabo Blanco a La Laguna. Aprovechando que están en Santa Cruz y tienen tiempo visitan dos empresas de mudanzas. La empresa Mudanzas “El Rayo” cobra 600€ como cantidad fija y 3€ por cada Km recorrido. Sin embargo la empresa Mudanzas “Para hoy”, cobra 240€ como cantidad fija y 9€ por cada Km. recorrido. a) ¿En qué caso las dos empresas cobrarán la misma cantidad? b) Si la distancia de Cabo Blanco a La Laguna es de 77 Km. ¿Qué empresa es la más económica? Problema 3.
Regresando a Cabo
Como el área de un rectángulo es base por altura: (x+30).x=7000; x2+30x=7000,
x2+30x-7000=0 ecuación de segundo grado. Ahora es el momento de enseñar en el aula cómo se resuelve este tipo de ecuaciones usando la fórmula. Resolveremos este problema y haremos más ejemplos en clase.
Blanco Juan le plantea a Miguel el siguiente problema: Sabías que el campo de fútbol de Cabo Blanco mide 30 m. más de largo que de ancho y tiene un área de 7000 m2. ¿Qué dimensiones tendrá? Problema 4.
Plantearemos un sistema lineal con dos ecuaciones con dos incógnitas para resolverlo.
3x+2y=4,50 siendo x= Precio de un cortado
2x+3y=5 siendo y= Precio de un bocadillo
Ahora enseñaremos al alumnado a resolver estos sistemas usando los métodos de reducción, sustitución e igualación.

Finalmente Miguel le plantea a Juan el siguiente problema: En el bar de Jose si compras 3 cortados y 2 bocadillos te cuesta 4,50€ y si compras 2 cortados y 3 bocadillos te cuesta 5€. ¿Cuánto cuesta cada cortado? ¿Y cada bocadillo? Problema 5.

Se nos presenta un problema cercano, de la vida real que no sabemos resolver…y el lenguaje algebraico me permite hacerlo.
Como podemos observar hemos tenido
a) Empresa Redcom P = 240€ + 0,01.x, siendo x= Nº visitas a la página web.
Empresa Webbit P = 180€ + 0,02.x, siendo x= Nº visitas a la página web.
Calcularemos el precio que cobra cada compañía de mantenimiento de la página web para las 18000 visitas anuales
Empresa Redcom P = 240€ + 0,01.18000= 240 + 180 = 420 €
Empresa Webbit P = 180€ + 0,02.18000 = 180 + 360 = 540€
La empresa más económica será la empresa Redcom.
b) Para saber en qué caso las dos empresas cobrarán la misma cantidad igualaremos las dos tarifas: 240€ + 0,01.x = 180€ + 0,02.x y resolveremos esta ecuación de primer grado.
que usar ecuaciones de primer grado, de segundo grado y sistemas. El alumnado resuelve estos problemas agrupados en parejas o en tríos. Los resolverán primero en la libreta como borrador y luego pasarlos al documento que le ha dado el profesor. La idea es que únicamente se pasará cada problema al informe cuando todos los componentes del grupo sepan resolverlo.

Veamos una segunda secuencia de actividades:
La directiva del IES Cabo Blanco se está planteando cambiar la compañía que suministra el servicio de mantenimiento de la página web del centro. Dulce, la directora tiene en su mano las siguientes tarifas: La empresa Redcom cobra 240€ anuales de mantenimiento y 1 céntimo por cada visita a la página web y la empresa Webbit cobra 180€ anuales de mantenimiento y 2 céntimos por vistita a la página web. a) ¿Qué empresa le interesará contratar al centro si recibe anualmente unas 18000 visitas? b) ¿Cuántas visitas anuales tienen que hacerse para que las dos empresas cobren lo mismo? Problema 1
Antonio el conserje del centro le lleva a su hijo veinte años pero dentro de cinco tendrá el doble. ¿Qué edades tienen Antonio y su hijo? Problema 2
Plantearemos un sistema lineal con dos ecuaciones con dos incógnitas
2x+y=330
3x+2y=540
siendo x= Precio de una puerta
siendo y= Precio de una ventana
Resolveremos utilizando despejando la “y” de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación.

Si la tercera parte de los alumnos del IES Cabo Blanco más la cuarta parte suman 525 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay matriculados en el IES Cabo Blanco? Problema 3
Planteamos la ecuación: x/3+x/4=525, siendo x= Nº alumnos matriculados
Calculamos el m.c.m.(3,4)=3.4=12, por tanto calculando fracciones equivalentes
x/3=4x/12, x/4=3x/12 luego: 4x/12+3x/12=525; 7x/12=525; 7x=6300; x=6300/7=900
Habrá 900 alumnos matriculados en el IES Cabo Blanco.

Además la directiva del centro está pensando cambiar las puertas y ventanas estropeadas. Si se compran dos puertas y una ventana costarán 330€. Y si se compran tres puertas y dos ventanas costarán 540€. ¿Cuánto costará una puerta? ¿Y una ventana? Problema 4.
El doble del área de un cuadrado dibujado en el patio del centro es de 18 m2. ¿Cuánto mide su lado? Problema 5.
A continuación se presenta una nueva secuencia de problemas cuya resolución es similar a las dos anteriores.
Juan y Sonia son dos alumnos del IES Cabo Blanco. De camino al centro Juan le plantea el siguiente problema a Sonia. Mi tío tiene quince años más que mi hermano y dentro de cinco años mi tío tendrá el doble que mi hermano. ¿Qué edades tienen? Problema 1.
El instituto de Cabo Blanco está preparando la clásica salida de convivencia a la zona recreativa las Lajas, en Vilaflor. Adi, la vicedirectora del centro ha contactado con dos empresas de transporte: Trasladosbus dispone de la siguiente tarifa 300€ fijos y 3€ por alumno, y Cardonbus 150€ fijos y 5€ por alumno. a) ¿Qué empresa interesará contratar si van a las Lajas un total de 120 alumnos? b) ¿Cuántos alumnos han de ir a las Lajas para que las dos empresas cobren lo mismo?Problema 2.
Juan tiene que fotocopiar unos apuntes y encuadernarlos. Chano el conserje del centro le dice lo siguiente: Dos encuadernaciones y diez fotocopias cuestan 7 €, y tres encuadernaciones y una fotocopia cuesta 9,10€. ¿Cuánto cuesta cada fotocopia? ¿Y cada encuadernación? Problema 3.
Ahora es Sonia quién le plantea a Juan el siguiente problema: La mitad del dinero que tengo en la cartera más la tercera parte suman 45€. ¿Cuánto dinero tengo en la cartera? Problema 4.
Para evaluar el criterio 4 utilizaremos dos productos: Un primer producto, el informe, que ha sido elaborado en el aula por el alumnado en parejas o tríos y es simplemente resolver la secuencia de problemas propuestos. Un segundo producto, una prueba escrita que también es una secuencia de problemas como las anteriores. En la realización de la prueba escrita tomaremos nota de aquel alumnado que pide ayuda. Si simplemente con la ayuda dada es capaz de resolver el problema o si nos pide ayuda en numerosas ocasiones y no logra continuar de forma autónoma tendrá una calificación u otra atendiendo a la rúbrica del criterio 4.
Una vez corregida la prueba escrita, se la entregaremos al alumnado para que compruebe sus aciertos y errores. Es en este momento cuando se nos presenta otra gran oportunidad de aprendizaje. Por tanto utilizando la dinámica de grupos de expertos, y atendiendo que esta prueba escrita sólo incluye cinco problemas, dividiremos al grupo en cinco pequeños grupos. Cada alumno se designará por una letra mayúscula.

El grupo de expertos en el problema nº 1 serán: A, B, C, D, E
El grupo de expertos en el problema nº 2 serán: F, G, H, I, J
El grupo de expertos en el problema nº 3 serán: K, L, M, O, P
El grupo de expertos en el problema nº 4 serán: Q, R, S, T, U
El grupo de expertos en el problema nº 5 serán: V, W, X, Y, Z

Dedicaremos una sesión a que cada uno de los grupos refuerce únicamente un problema. El alumnado que ya conoce cómo se resuelve el problema ayudará al resto de compañeros del grupo. Como todos los alumnos del grupo son expertos en un problema, en la siguiente sesión los agruparemos de manera que cada uno de los grupos disponga de un experto de cada uno de los cinco problemas. Ahora los grupos serán:
Grupo 1 estará formado por: A, F, K, Q, V
Grupo 2 estará formado por: B, G, L, R, W
Grupo 3 estará formado por: C, H, M, S, X
Grupo 4 estará formado por: D, I, O, T, Y
Grupo 5 estará formado por: E, J, P, U, Z

Conclusión
Con este nuevo planteamiento evitamos que los alumnos resuelvan largos listados de ecuaciones y sistemas sin contexto alguno. Es en el aula donde el alumnado construye aprendizajes útiles, eficaces, cercanos y aplicables a su entorno.
Utilizando la dinámica de Grupos de Expertos, ponemos el foco del aprendizaje en el alumnado. Si tenemos la oportunidad de implementarla en el aula y usarla de forma habitual, estaremos incidiendo directamente en el aspecto competencial de la enseñanza. Fomentaremos las imprescindibles interacciones alumno-alumno, que aportarán riqueza a sus estructuras cognitivas, ya que el simple hecho de que cada alumno deba explicarle al resto un problema hace que previamente sus ideas deban estar ordenadas.

Orientaciones para la elaboración de la Programación Didáctica. 2012. Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa de la Consejería de Educación Universidad, Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias. (Documento Caracol)
Rúbricas de Educación Secundaria. Rúbrica General de MATEMÁTICAS, 3ºESO.
9 ideas clave. El aprendizaje cooperativo. Pere Pujolás Maset. Editorial Graó.
Este artículo fue escrito el 15 de mayo de 2014 por Pedro Ángel Mederos Cruz.