IES Viera y Clavijo

SOBRE LA IGNORANCIA Y EL CÍRCULO

Acto de entrega de Orlas a alumnado de Bachillerato (2015)

SOBRE LA IGNORANCIA Y EL CÍRCULO

Carlos Mederos Martín

A Agustín Isidro y a Blanca Carrasco

vierayclavijoUn instante después de haber aceptado pronunciar la última lección en el acto de entrega de orlas del curso 2014-2015 me invadió cierta sensación de angustia ¿de qué puedo hablar yo en un acto como este? Es evidente que el auditorio no espera oír disertaciones sobre el contraste de hipótesis para la media ,ni sobre las aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas planas. Entonces… ¿de qué hablo? Por más que pienso, no se me ocurre un tema que sea propio para la ocasión: atractivo, entretenido, interesante…..¡y que tenga relación con las Matemáticas! Entonces volví a caer en la cuenta de algo que ya había notado hace tiempo: soy un ignorante. Y la sensación de angustia se acentuó un poco más. Pues bien, hablemos de lo que uno es. Así que , ya tengo tema para hablar: la ignorancia.

Por otra parte, no puedo abandonar mi condición de profesor de Matemáticas, y es bien conocida la tendencia que tiene nuestro colectivo a usar modelos geométricos para la explicación de cualquier concepto. Pensando en la elección del modelo geométrico me vino a la mente la secta de los Pitagóricos, para los que el verdadero conocimiento consiste en distinguir con claridad los contrarios: lo impar de lo par, lo finito de lo infinito, lo recto de lo curvo, etc. , no pudiendo coexistir estos en el mismo ser (el Ser es y el No Ser no es, dijo Parménides); y , como yo sé que ustedes ahora mismo tienen la mente puesta en el “cuadrilátero”, usaré el círculo como modelo geométrico.

Sobre el círculo y sus propiedades podríamos extendernos indefinidamente. Me limitaré aquí a recordar algunas características significativas. En primer lugar recordemos que fue usado por los filósofos de la antigüedad para construir los primeros modelos del Universo basados en círculos concéntricos , centrados en la Tierra, girando unos dentro de otros, y a los que estaban fijos los cuerpos celestes. Esto propició el paso de una concepción del Universo como algo desordenado (caótico) a una idea del Universo como algo ordenado (Cosmos).

Tales de Mileto, al que se le atribuye haber predicho con un año de antelación el eclipse de sol ocurrido el 28 de mayo del 585 a.C., está considerado como el primer filósofo y, sobre todo, como el primer matemático auténtico. Esta consideración se basa, tradicionalmente, en que se le atribuyen a Tales las demostraciones de varios teoremas; en particular uno que atañe al círculo:

“Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro”

Pero, ¿no es evidente esta afirmación? ¿realmente, necesita ser demostrada? Parece claro que la simple percepción por medio de los sentidos nos tiene que convencer de la veracidad de tal afirmación.

Con respecto a esta cuestión podemos leer al filósofo neoplatónico Proclo (412-485), director de la Academia fundada por Platón en Atenas. A este autor le debemos gran parte de nuestros conocimientos sobre la Matemática Griega, incluidos, fundamentalmente, en su obra Comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides. En la introducción de este libro Proclo habla de los epicúreos; miembros de la escuela filosófica fundada por Epicuro de Samos (341-270 a.C.), que surgió en el periodo en el que las ciudades griegas perdieron su libertad política al ser conquistadas por Macedonia y cuyo pensamiento se caracterizaba por la idea de que el fin natural del hombre es el placer y el rechazo a todo tipo de sacrificio. Pues bien, según Proclo, los epicúreos ridiculizaban a los que pretendían demostrar cosas evidentes. En este caso, el teorema en cuestión no es el enunciado anteriormente, sino el conocido como desigualdad triangular (Proposición 20 del Libro 1º de Los Elementos de Euclides), pero del que podremos sacar las mismas conclusiones con respecto a su presunta evidencia:

“Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos”

Y dice Proclo:

“….los epicúreos suelen ridiculizar este teorema diciendo que es evidente incluso para un burro y que no necesita ser demostrado; es tan propio de una persona ignorante, dicen, requerir persuasión para las verdades evidentes como creer sin cuestionárselo en lo que es oscuro…. Que el presente teorema lo conocen hasta los burros lo deducen de la observación de que, si se coloca paja en un extremo de los lados, un burro en busca de forraje recorrerá sólo la distancia de un lado y no la de los otros dos…”

Nótese que en esta cita aparece una relación entre la ignorancia y el no diferenciar lo que es evidente de lo que necesita demostración.

Pero volvamos a Tales y su teorema sobre el círculo. Entonces, ¿es Tales un ignorante que se dedica a demostrar cosas evidentes? Rotundamente no. Lo que hace de este hombre un “matemático” no es que haya demostrado este y otros teoremas, sino el hecho de pensar que estos teoremas necesitan ser demostrados. Esto significa el reconocimiento de que no podemos asumir como verdadera cualquier afirmación que los sentidos nos hacen ver como verdadera; significa, en definitiva, que debemos desconfiar absolutamente de los sentidos, incluido el sentido común , a pesar de que, según Descartes, este último es el bien mejor repartido por Dios; y someter las cosas al juicio de la razón.

Expondré a continuación algunas cuestiones relacionadas con la geometría intrínseca del círculo. Imaginemos un círculo, no un círculo cualquiera , un círculo perfecto flotando en el aire en el salón de actos, como el que debe existir realmente en el Mundo de las Ideas de Platón. Imaginemos también su centro. Tracemos la tangente por un punto cualquiera. Estamos ante dos contrarios: lo curvo, el círculo; y lo recto, la tangente. Imaginemos ahora que el centro del círculo se empieza a alejar, de manera que sale del salón de actos, manteniéndose dentro el punto donde hemos trazado la tangente. En estas condiciones, cuanto más se aleja el centro, más se aproximan la curva y la tangente, de manera que si el centro llegase al infinito, el círculo se convertiría en una recta que se confunde con la tangente; esto es, ¡se confunden los contrarios! y, recordemos a los pitagóricos, esto no puede producir conocimiento verdadero. Este tipo de situaciones son las que conducían a los pensadores de la antigüedad a desechar el uso del infinito en los razonamientos válidos para la adquisición del conocimiento. El siguiente texto de Aristóteles expresa esta idea con claridad:

“…Pero hay algunos que, según dijimos, pretenden por una parte, que una misma cosa es y no es, y que , por otra parte, lo conciben así. Y usan este lenguaje muchos incluso de los que tratan acerca de la Naturaleza. Pero nosotros acabamos de ver que es imposible ser y no ser simultáneamente, y de este modo hemos mostrado que éste es el más firme de todos los principios. Exigen, ciertamente, algunos, por ignorancia, que también esto se demuestre; es ignorancia en efecto, no conocer de qué cosas se debe buscar demostración y de qué cosas no. Pues es imposible que haya demostración absolutamente de todas las cosas (ya que se procedería al infinito, de manera que tampoco así habría demostración); y, si de algunas cosas no se debe buscar demostración, ¿acaso pueden decirnos qué principio la necesita menos que éste?”

Aristóteles. Metafísica. Libro IV

En este texto, Aristóteles, además de establecer el principio de no contradicción, y de prohibir el uso del infinito en nuestros razonamientos , relaciona, nuevamente, la ignorancia y el “no conocer de qué cosas se debe buscar demostración y de qué cosas no”. Esto me lleva a pensar que podría ser esta característica la que definiese la ignorancia. Sin embargo, para nuestro propósito, con el fin de fijar las ideas , usaremos una definición de ignorancia no tan metafísica; por ejemplo, la del Diccionario de la Real Academia de la Lengua, que la define como “Falta de ciencia, de letras y noticias, general o particular”; o lo que es lo mismo, falta de conocimientos.

Después de hablar brevemente del círculo y de la ignorancia por separado, para terminar, relacionaré los dos conceptos usando el primero, el círculo, como modelo geométrico del segundo y su complementario, es decir, nuestros conocimientos y nuestra ignorancia.

Todo círculo divide al plano en dos regiones: una finita, que es el propio círculo limitado por su correspondiente circunferencia; y otra infinita que es la parte exterior a la circunferencia. Podemos representar nuestros conocimientos por medio de la primera región, el círculo propiamente dicho; y, en consecuencia, la segunda, la que es infinita, representará lo que no conocemos, es decir, nuestra ignorancia. La circunferencia que separa ambas regiones es la frontera entre lo que conocemos y lo que ignoramos, y nos da una estimación de nuestra ignorancia, una idea de si es más o menos grande, pero nunca una medida exacta, pues, ésta es inconmensurable, es infinita.

La primera observación que haré sobre nuestro modelo tiene que ver con la libertad. Si entendemos ésta como la capacidad que tienen los individuos para tomar decisiones éticamente aceptables, es evidente que cuanto mayor sea nuestro círculo de conocimientos, más posibilidades tendremos para elegir; en consecuencia, seremos más libres, en tanto que ciudadanos en un Estado de Derecho. En otras palabras, nuestro círculo de conocimientos es el espacio en el que podemos ejercer nuestra libertad.

Una persona que no tiene conocimientos, tendrá asociado un círculo muy pequeño, al que le corresponde una circunferencia también pequeña, por lo que esta persona estimará que su nivel de ignorancia es pequeño ¡se creerá un sabio!. Además, no será una persona libre, no será un ciudadano, será un siervo (un esclavo). Sin embargo, una persona con un gran círculo de conocimientos, además de ser más libre, tendrá una circunferencia asociada muy grande; en consecuencia, estimará que su ignorancia es grande y, entonces, ¿se creerá un ignorante? No contestaré a esta pregunta , creo que ya lo hizo Sócrates hace mucho tiempo y yo me limitaré a aceptar su respuesta.

¿Qué pasaría si el círculo de conocimientos fuese infinito (si el centro estuviese en el infinito)? Se transformaría en una recta que divide al plano en dos partes iguales, infinitas e indistinguibles .¿Quiere esto decir, según nuestro modelo, que se confundirían los contrarios: nuestros conocimientos y lo que ignoramos? De momento, hagámosle caso a Aristóteles y excluyamos el infinito de nuestros razonamientos. En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo al uso del infinito en sus elucubraciones y encontraron cosas maravillosas, pero eso es otra interesante historia….

Y, por fin, cuando llego a la conclusión de que cuantas más cosas se aprenden más grande parece ser nuestra ignorancia, que siempre será infinita, al mismo tiempo, más grandes serán también nuestros conocimientos, y, en consecuencia, más grande será el espacio donde podemos ejercer nuestra libertad, es decir, seremos más libres. Es entonces cuando la sensación de angustia de la que hablé al principio empieza a desaparecer y pienso que hoy, y todos los días por venir, serán un buen día para empezar a aprender.

La Laguna, abril de 2015