Números cómplices.

Escrito por Administrador(1) el . Posteado en El reto de la semana., Principal, Problemas de ingenio

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El reverso de un número es el número que se obtiene escribiendo el número de derecha a izquierda. Por ejemplo, el reverso de 35 es 53 y el de 235 es 532.

 

Dos números enteros son cómplices si se cumplen tres condiciones:

 

1.- Los números se escriben con la misma cantidad de cifras

2.-  Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo 11 no sirve) y los números no son reversos entre ellos (por ejemplo 87 y 78 no sirven)

3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.

Por ejemplo:

Los números 42 y 12 son cómplices, puesto que tienen 2 cifras cada uno, no son reversos de sí mismos ni entre ellos y el producto de los números es igual al producto de sus reversos 42×12=24×21=504.

¿Puedes encontrar más números cómplices de dos cifras?

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Comentarios (14)

  • Antonio T

    |

    En realidad hago trampa pues son «semireversos»:
    12 y 21 pero multiplicando el 12 por 2,3,4. (es decir, 24 y 21 – 36 y 21 o 48 y 21).
    También 12 y 21 pero multiplicando el 21 por 2,3,4.
    Continúo: 13 y 31 multiplicando por 2,3 uno de los dos.
    Aún más 23 y 32 multiplicando uno de los dos por 2,3.
    Y acabo con 14 y 41 24 y 42 y 34 y 43 multiplicando uno de los dos por 2.
    Me salen 3+3+2+2+2+2+1+1+1+1+1+1=20 parejas cómplices.

    Me he dejado el caso de multiplicar los dos números, por ejemplo en 12 y 21, multiplicar 12 por 4 y 21 por 3, es decir 48 y 63.

    Responder

    • Administrador(1)

      |

      Resumiendo:
      Del 12 y 21 generas por múltiplos del 12 los siguientes números cómplices: (24,21), (36,21), ( (48,21) y sus reversos (42,12), (63,12) y (84,12).
      Del 13 y 31 generas por múltiplos de uno de ellos los siguientes números cómplices: (26,31),(39,31) y sus reversos (62,13) y (93,13).
      Del 23 y 32 generas por múltiplos de uno de los dos (46,32),(69,32) y sus reversos (64,23) y (96,23).
      Con los de la última fila, 14 y 41, 24 y 42, 34 y 43 generas: (28,41), (48,42), (68,43) y sus reversos (82,14), (84,24) y (86,34)
      Y por último añades (48,63) y su reverso (84,36)
      TOTAL 22 PAREJAS DE NÚMEROS CÓMPLICES. Muy buena aproximación. Todavía hay algunos más. Gracias por tu aportación.

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      • Antonio T

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        En realidad decía que el par (12-21) da lugar también a otros cuando multiplicamos ambos. Daba un ejemplo, pero también genera: (24,63), y su reverso (36,42) así como el ya contado (24,84)
        Por lo mismo el par (13-31) genera también el (26,93) y el reverso (39,62)
        Y el par (23-32) también genera el (46,96) y el reverso (69,64)

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        • Antonio T

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          Me pregunto si hay alguno más que no provenga de hacer un múltiplo de los reversos (de uno o de los dos)

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  • Aula MatemáTICa, tu blog de aula...

    |

    Planteamos una ecuación con 4 incógnitas, que van a ser precisamente las cifras de los números que buscamos:

    1° número: xy
    2° numero: zt

    Se debe cumplir que xy•zt=yx•tz, por tanto,

    (10x+y)•(10z+t)=(10y+x)•(10t+z)

    Operando y simplificando:

    100xz+10xt+10yz+yt=100yt+10yz+10xt+xz

    100xz+yt-100yt-xz=0

    99xz-99yt=0

    99 (xz-yt)=0

    Luego, x•z=y•t

    Para que esto sea posible, ninguna de las cifras puede ser cero, ya que entonces el reverso de uno de esos números tendría solo una cifra. No es posible tampoco que x y z sean números primos a la vez, ya la única posibilidad sería su reverso. Luego, toda solución debe cumplir la ecuación anterior y además estar compuesto por un número compuesto, al menos. Son 24 las posibilidades:

    (12/42) (12/63) (12/94) (13/93) (14/82) (21/48) (23/64) (23/96) (24/63) (24/84) (26/93) (28/41) (32/46) (32/69) (34/86) (36/42) (36/84) (39/62) (42/48) (43/68) (48/63) (62/13) (64/69) (84/12)

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    • Administrador(1)

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      El par (12/94) no son cómplices. 12×94=1128 y 21×49=1029. Creo que quisiste decir 12/84, pero ese ya lo tenías al final apuntado (84/12)

      Hay al menos cinco pares de números más que son cómplices, sin contar como bien dices en el siguiente comentario con las variaciones de estos pares de números positivos con sus negativos, ya que el problema estaba planteado para números enteros.

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  • Aula MatemáTICa, tu blog de aula...

    |

    Y como no nos dicen que tengan que ser positivos, también considerariamos los casos: ambos números positivos, ambos números negativos y uno positivo y el otro negativo…

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  • Aula MatemáTICa, tu blog de aula...

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    El (12-94) fue un error, quise decir (12-84) y debajo estaba repetido, precisamente porque no advertí dicho error, pero me olvidé de algunos cuadrados perfectos… Los que faltaban son (24-21) (36-21) (31-26) (39-31) y (96-46)… Por tanto, 23 de antes y 5 de ahora, hacen un total de 28 números cómplices de dos cifras… y espero no haber olvidado ninguno de nuevo…

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    • Administrador(1)

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      Correcto, ahora creo que ya están todos. Muy buena tu página web.

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  • mery ramos

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    hola buenas tardes, tengo esta duda, quisiera que me colaboraran.

    que patron se repite en la siguiente secuencia?

    62*39=2418 26*93=2418 84*24=2016 48*42=2016

    les agradezco me ayuden

    Responder

    • Administrador(1)

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      No es una secuencia, es la comprobación de la 3ª condición de los números cómplices que dice:
      3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.
      Los dos nº son en estos casos 62 y 39 cuyos reversos son 26 y 93. Sus productos son iguales, por tanto son nº cómplices.
      Lo mismo ocurre con 84 y 24 cuyos reversos son 48 y 42. También son nº cómplices .
      Un saludo

      Responder

      • mery ramos

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        en realidad es un punto que me dieron de un trabajo de matemáticas, y no doy con el patrón… de todas formas muchas gracias

        Responder

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