El matemático Kaprekar es muy conocido por su habilidad en el cálculo. Le encanta proponer a cada uno de sus nuevos alumnos el siguiente juego:

Piensa un número de tres cifras todas distintas. Escribe el número más grande que pueda formarse con estas tres cifras, a continuación escribe el número más pequeño.
Haz la diferencia de los dos. Con el número obtenido vuelve a comenzar el proceso.
Repite esta operación cinco veces. Mientras espero yo escribo en esta hoja el resultado que encontrarás».
En efecto, Kaprekar se arriesga siempre a prever el resultado correcto.

¿Cuál es el número que Kaprekar escribe en el papel?
Explica por qué se encuentra siempre el mismo número.

Sigue las instrucciones y resuelve averiguando cuánto sumarán los números de la fila 20.

El reverso de un número es el número que se obtiene escribiendo el número de derecha a izquierda. Por ejemplo, el reverso de 35 es 53 y el de 235 es 532.

Dos números enteros son cómplices si se cumplen tres condiciones:

1.- Los números se escriben con la misma cantidad de cifras

2.-  Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo 11 no sirve) y los números no son reversos entre ellos (por ejemplo 87 y 78 no sirven)

3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.

Por ejemplo:

Los números 42 y 12 son cómplices, puesto que tienen 2 cifras cada uno, no son reversos de sí mismos ni entre ellos y el producto de los números es igual al producto de sus reversos 42×12=24×21=504.

¿Puedes encontrar más números cómplices de dos cifras?

Tomemos un número cualquiera de cuatro cifras. Poner estas cifras primero en orden decreciente y luego en orden creciente. Hacer la resta de ambos números. Se obtiene otro número con el cual repetiremos la misma operación unas cuantas veces. Siempre se llega al número 6.174.

Ejemplo.

Partiendo del número 6.739, obtenemos sucesivamente:

9763 – 3679 = 6.084

8640 – 0468 = 8.172

8721 – 1278 = 7.443

7443 – 3447 = 3.996

9963 – 3699 = 6.264

6642 – 2466 = 4.176

7641 – 1467 = 6.174

y los cálculos se detienen aquí. Al reordenar las cifras salen una y otra vez los mismos números y el resultado no se altera.

¿Curioso, verdad? Prueba tú, ahora, con otro número diferente de cuatro cifras y comprueba que siempre se cumple lo que hemos dicho.