120 boliches iguales se han colocado de forma compacta formando una pirámide triangular regular.
¿Cuántos boliches hay en la base?

Mariola dice a su nuevo amigo que podría descubrir su fecha de nacimiento si sigue las siguientes instrucciones:
Multiplica por 13 el número del día de tu nacimiento, multiplica por 14 el número de tu mes de nacimiento, suma los dos productos y dime el resultado final de tus cálculos.
Su amigo le responde:

El resultado final de mis cálculos es 479.

¿Cuáles son el día y el mes de nacimiento del amigo de Mariola?
Explicad vuestro razonamiento.

Imagen de Kristin Baldeschwiler en Pixabay

Lucas y Catalina han heredado un gran terreno que tiene la forma de un trapecio isósceles. Ellos quieren repartir el terreno en dos partes de la misma área mediante un muro rectilíneo, partiendo de un poste plantado sobre uno de los dos lados paralelos del trapecio (indicado con P en la figura).

Dibujad sobre la figura el segmento PQ, que subdivide el trapecio isósceles en dos partes de la misma área.
Explicad cómo habéis determinado la posición del otro extremo Q del segmento.

Lucas ha encontrado en el ático el mecanismo que se representa aquí:

Está formado por dos ruedas conectadas por una correa de transmisión no elástica. Los radios de las dos ruedas miden respectivamente 15 cm y 3 cm, mientras que el ángulo mostrado en la figura mide 60°.
Lucas quiere cambiar la correa que está muy estropeada.
Tiene a su disposición una nueva correa de longitud 110 cm.
¿Creéis que la nueva correa será suficientemente larga?
Justificad vuestra respuesta.

En el juego de Free Cell al final de cada partida el software comunica el número de partidas jugadas, el de las ganadas y el porcentaje de victorias.
Antonio ha jugado 12 partidas y ha ganado 6. El porcentaje de victorias es del 50%.
Juega otras tres partidas y las gana. La computadora le informa que el porcentaje de partidas ganadas es del 60%.
Antonio llega al 75% jugando otras nueve partidas y ganándolas todas.
Antonio está impaciente por llegar al 80% y luego al 90% sin perder una sola partida.
¿Cuántas partidas deberá jugar todavía, sin perder nunca, para llegar al 80% y
después al 90%?
Explicad cómo habéis encontrado vuestras respuestas.

Un agricultor deja en herencia a su hijo y a su hija un campo valorado en 30 000 euros y 21 000 euros en efectivo.
La figura de aquí abajo representa el campo: un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares entre sí y subdividido por una de ellas en dos triángulos, uno coloreado de gris y el otro en blanco. Un tercio de la otra diagonal está situado en la parte gris.

La hija elije la parte gris, el hijo toma la parte restante.
Los dos hijos quieren repartirse toda la herencia en dos partes del mismo valor.
¿Cómo deben repartirse los 21 000 euros?
Explicad cómo habéis encontrado la respuesta y mostrad los cálculos que habéis
hecho.

Tres amigos van a la pizzería y antes de ordenar la consumición consultan el menú:

– Andrés: pizza cuatro estaciones, cerveza y café
– Bernardo: pizza al tartufo, agua y dulce
– Carlos: pizza transalpina, coca-cola y dulce
Ellos preparan el dinero para pagar, cada uno según lo que ha consumido; en la caja sin embargo, el total es sólo de 42 €, porque obtienen un descuento.
¿Cuánto debería pagar cada uno en la caja para un justo reparto del descuento, según los importes debidos?
Explicad cómo habéis encontrado vuestra respuesta.

Es fácil elegir, sobre el plano, 6 puntos distintos sobre 2 rectas distintas de manera que cada una de tales rectas pase por exactamente tres de estos 6 puntos, como en la Figura 1.

También es posible elegir 6 puntos distintos sobre 3 rectas distintas de manera que cada una de estas rectas pase exactamente por tres de estos 6 puntos, como en la Figura 2.
¿Es posible elegir 6 puntos sobre más de 3 rectas, de manera que cada una de estas rectas pase exactamente por tres de estos 6 puntos?
Si es así, di cuántas pueden ser estas rectas como máximo y dibújalas, indicando también los 6 puntos elegidos.
Y si se eligen 9 puntos distintos del plano, ¿cuántas rectas pueden elegirse, como máximo, tales que cada una de ellas pase por exactamente tres de estos 9 puntos?
Indicad el número máximo de rectas que habéis encontrado y dibujadlas, indicando también los 9 puntos elegidos.

La Señora Fraccionaria decide plantar tulipanes de distintos colores en un gran parterre de su jardín.
Tiene a su disposición tulipanes de ocho colores diferentes: rojo, amarillo, anaranjado, blanco, lila, violeta, rosa, salmón.
Con los tulipanes rojos puede “llenar” 1/2 del parterre, con los amarillos 1/3 del parterre, con los anaranjados 1/4, con los blancos 1/5, con los lila 1/6, con los violeta 1/8, con los rosa 1/9, con los salmón 1/12.
La señora Fraccionaria quiere “llenar completamente” su parterre y, para cada color elegido, quiere utilizar todos los tulipanes disponibles pero, para hacer esto, debe elegir los colores de manera adecuada.
Se da cuenta que puede elegir tulipanes de tres colores pero, por ejemplo, no puede utilizar al mismo tiempo tulipanes rojos, amarillos y anaranjados.
¿Cuáles son los tres colores de tulipanes con los que la señora Fraccionaria puede “llenar” completamente su parterre?
¿Y con cuatro colores es posible llenar el parterre? ¿Cuáles?

Imagen de Todd MacDonald en Pixabay
Explicad vuestras respuestas.