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CONJUNTOS DE JULIA Y MANDELBROT

Los números complejos:

complex_number_illustration  Antes de comenzar a hablar de los  fractales de Julia y Mandelbrot se hace necesario dar  una pequeña referencia sobre los números complejos. Básicamente podemos definir un número complejo como una expresión de la forma:                                     a +bi

  donde a y b son números reales,  e i es la raíz cuadrada de -1

Los números complejos se representan en un plano, de manera que cada número complejo tiene asociado un punto del plano  y viceversa. Esta identificación entre puntos y números es lo que nos interesa saber para poder comprender la representación de los fractales que tratamos en este artículo. (Para saber más sobre números complejos consultar aquí. )

 

Los Conjuntos de Julia y de Mandelbrot

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 Gaston Julia

(1893-1978)

   Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función.

 

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Una familia muy importante de conjuntos de Julia se obtiene a partir de funciones cuadráticas simples,como por ejemplo:                                       Fc(z) = z2 + c  , donde c  es un número complejo.

El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota Jc. El proceso para  obtener este conjunto de Julia de  es el siguiente:
Se elige un número complejo cualquiera z y se va construyendo una sucesión de números de la siguiente manera:

z0 = z
z1 = F(z0)= z02 + c
z2 = F(z1) =z12+c
……………………….
zn+1 =  F(zn) =zn2+c

   Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Julia de parámetro c, denotado por Jc; de lo contrario, si la sucesión tiende al infinito, z queda excluido de éste.
Es fácil deducir que obtener un conjunto de Julia resulta muy laborioso, pues el proceso anterior habría que repetirlo para cualquier número complejo z, e ir decidiendo en cada caso si dicho número pertenece o no al conjunto Jc.
Debido a la infinidad de cálculos que se necesitaban  para  obtener la gráfica correspondiente, se tuvo que esperar hasta los años ochenta para poder  representar estos conjuntos. Gracias a la invención del ordenador por fin  pudieron ser observados en una pantalla, aunque el señor Julia no llegase a verlos:

 

julias

   Las imágenes de los fractales obtienen vistosos colores gracias a la aplicación de lo que se suele llamar «algoritmo de tiempo de escape». Esto consiste en asignar un determinado color a un punto z (que se corresponde con un píxel de la imagen final). Existen varias posibilidades para llevar a cabo tal  asignación:

  • si el resultado se aproxima a cero (en cuyo caso, z pertenece al conjunto),
  • si escapa al infinito (y por tal, no pertenece al conjunto),
  • si oscila entre varios estados,
  • si no exhibe ningún patrón discernible.

Cada píxel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse el color negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

 

El conjunto de Mandelbrot

mandelbrot
(1924-2010)
 

   Mandelbrot modifica el proceso iterativo de Julia haciendo variable el punto c y fijando el punto z0=0. El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c para los cuales la sucesión de puntos obtenida por el método iterativo

z0 =0
z1 = F(z0)= z02 + c
z2 = F(z1) =z12+c
……………………….
zn+1 =  F(zn) =zn2+c
no tiende a infinito, es decir, está acotada.
 

Si asignamos el color negro a los puntos c que dan lugares a sucesiones acotadas y otros colores a los demás puntos, según lo rápido que tiendan al infinito, la representación obtenida para el conjunto de Mandelbrot es:

 

f

 

   Hablemos un poco del nacimiento de este complejo conjunto. Mandelbrot tenía conocimientos de los trabajos de Gaston Julia desde mediados de los años cuarenta, ya que un tío suyo, profesor de matemáticas en el Collège de France de París, se los había recomendado para que los continuase. En aquel momento no le interesaron demasiado, pero a finales de los 70 los volvió a retomar, justo cuando estudiaba en la aplicación de las matemáticas por ordenador. En esta época Mandelbrot trabajaba para IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York y, en un momento dado, le encargaron el estudio de las perturbaciones que sufrían las transmisiones electrónicas. Mandelbrot descubrió que,  si se hacía una gráfica con los datos de dichas perturbaciones, se podía observar  «auto-similitud» en todas las escalas de aumento. Lo más curioso es que esta «auto -similitud» también podía apreciarse en otros gráficos estadísticos como por ejemplo los precios del algodón, las variaciones de las cotizaciones de la bolsa, las frecuencias de las palabras en inglés,las fluctuaciones de los líquidos turbulentos…La genialidad de  Mandelbrot  fue aunar los trabajos previos de Julia, sus estudios sobre las perturbaciones y el uso del ordenador, hablando por primera vez de la «fractalidad» de todos estos fenómenos y consiguiendo las imágenes del conjunto que lleva su nombre. 

Si hacemos zoom en diferentes partes del conjunto podemos encontrar imágenes como éstas:

con3

 

 Las imágenes han sido obtenidas utilizando el programa Ultra fractal.

 

 Por último, el siguiente vídeo nos muestra lo complejo que es el conjunto y toda la belleza que encierra: