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FRACTALES LINEALES

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas, es decir,  son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. Por tanto, si vemos una parte específica muy pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a la forma original del fractal, solamente que más pequeña.

   Los primeros fractales lineales que se conocen datan de finales del siglo XIX, mucho  antes de que se hubiera definido formalmente lo que era un fractal. Estos conjuntos eran considerados «monstruos matemáticos», por tener características que los matemáticos de entonces no podían explicarse.

varios

A continuación mostraremos los fractales lineales más conocidos:

Conjunto de Cantor:

Este conjunto fue introducido por  Georg Cantor en 1883 y  es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1].

Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:

  • se parte de un segmento de longitud 1..
  • Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos).
  • Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas.
  • Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

 

cantorGeorg Cantor

(1845-1918)

cantor

Conjunto de Cantor

cantors_cube

Conjunto de Cantor en 3D

La curva de Hilbert:

También conocida como la curva que recubre el plano de Hilbert, es una curva fractal continua que recubre el plano descrita inicialmente por el matemático alemán David Hilbert en 1891.

 Se construye mediante el procedimiento siguiente:

  • Se parte de un cuadrado
  • Se hallan los puntos medios de los lados y se forman cuatro cuadrados iguales. Unimos los puntos medios de estos cuadrados mediante tres segmentos (Figura 1)
  • Se repite el proceso en cada unos de los cuadrados anteriores uniendo además mediante segmentos adicionales (en azul) las terminaciones de las líneas poligonales en cada cuadrado (en verde) (Figura 2)
  • Se repite este proceso indefinidamente.

 

hilbert David Hilbert

(1862-1943)

hil1
   hilbert2
……….
hilbert_curve
  Figura 1  Figura 2  Curva de Hilbert
(8 iteraciones)

Copo de nieve de Koch

   El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto. descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.

   Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

(1870-1924)

koch
von_koch_curve
koch_snowflake_rgb-cmy
  Curva de Koch  Copo de nieve

Triángulo de Sierpinski:

  Este triángulo recibe su nombre de Waclaw Sierpinski, quien lo propuso en 1915.

Para construirlo se sigue el siguiente proceso:

  • Se parte de un triángulo equilátero
  • Se hallan los puntos medios de los lados y se unen entre sí formando un nuevo triángulo invertido que ser recorta de la figura.
  • Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos que aparecen en el punto anterior
  • Seguimos indefinidamente este proceso

(1882-1969)

Captura70
sierpinski_pyramid
 Triángulo de Sierpinski (5 iteraciones)  Pirámide de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski

Es un fractal descrito por Sierpinski en 1916.

Para construirlo se sigue el siguiente proceso:

  •  Se parte de un cuadrado de lado 1.
  • Se divide en nueve cuadrados iguales  y se elimina el cuadrado central.
  • Se hace lo mismo que hemos hecho en el primer
    paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior.
  • Seguimos indefinidamente este proceso
sierpinskicarpet
menger3

 Alfombra de Sierpinski

(5 iteraciones)

Esponja de Menger

Este fractal fue presentado por Karl Menger en 1926 y es una versión tridimensional de la alfombra de Sierpinski.

 

(1902-1985)

menger_sponge_level_1-4

 Esponja de Menger (4 iteraciones)